闲侃 ：为什么我们这个宇宙的空间是三维的

紫荆棘鸟

发个需要动动脑子的灌水贴：为什么我们这个宇宙的空间是三维的。三维空间好理解，对吧？直线是一维的，平面是两维的，因为你需要两个值（横坐标、纵坐标）例如（3，5.4）来确定平面上的一个点。自然，咱们这个空间是三维的，因为你需要（x,y,z) 三个值来确定空间中的一个点。

之前在万维网码了两个闲侃帖，尽管没有一个公式符号，但是内容都比较“物理”，所以留给诸位看官们海阔天空的余地就不大。光从论坛的回帖看，靠谱的评论几乎是没有，倒是博克这一块能见到几个闪光点，呵呵。不过俺注意到了，就回帖的内容看，最受广大蒙古物理学家们关注的话题之一就是空间和时间。相比之下，时间更不好理解，所以这里我们先谈谈空间。尽管若问“什么是空间”、“空间是如何来的”这样的问题，大家的回答会五花八门，但是我想大部分人都会觉得“空间”这个概念比“时间”这个概念简单些，对不对。这里俺起草个不那么“物理”的话题：为啥空间是三维的。这样的话题，和前面几个闲侃相比，肯定比较“哲学化”一些，所以留给大家胡掰的余地就大很多 (这里俺们先不谈什么是空间这样看起来更模糊、更哲学甚至更文学更艺术的话题)。

为啥空间是三维的？算是这样一个看上去比较具体的问题，science/physics 里也没有解答，至少没有公认的解答。须知咱们的数学和物理学就描述形式而言，并没有要求空间必须是三维，而是可以任意维的 (其实无论是经典物理学还是量子力学，拉格朗日/哈密顿量，都不止容纳几维空间这样的宏观物理量，而且还能容纳广义坐标以及内秉物理量等多得多的自由度，例如电荷、自旋、色荷等)，但为啥空间偏偏是三维而不是别的维数呢？你可以说出很多五花八门的解释，例如我们人类智慧有限、或者观测手段有限，感知不到、观测不到四维空间啦，或者我们这个宇宙就是三维空间、但是别的宇宙是多维空间 (例如四维、九维甚至二维) 啦，甚至你还可以和耶和华、佛学扯上联系。这些解释，即使对，总是给人遥远而不得要领的感觉。

有没有比较令人信服一些的解释呢？有。这里我们介绍一个。这是基于著名的 Bertrand's Theorem (伯特兰定理) 给出的解释。
Bertrand's Theorem 是啥，大家可以参见 wiki 百科的解释以及证明，数学还木有忘光的同学估计还能看懂：
   http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem
这个定理在说，对所有被束缚的质点，只有两种位势 V 可以给出闭合轨道：
a) 位势和半径成反比的向心势；或者说，作用力是向心力而且大小和距离的平方成反比 (最著名的例子自然就是万有引力、正电荷和负电荷之间的库仑力)；
b) 位势和距离的平方成正比的简谐振子势；例如遵循虎克定律的弹簧。

好，咱们以约束天体运动的主要作用力：万有引力为例来说明空间为啥必须是三维。比方说，假设我们这个宇宙的空间是四维的，那么万有引力的强度会和半径的三次方成反比  (而三维空间万有引力的强度和半径的平方成反比)，Bertrand 定理告诉你，这样的天体运动 (例如地球绕太阳转动) 不能形成闭合的轨道，不能形成闭合轨道的直接后果就是地球上没有生命赖以形成的稳定环境，于是生命不会出现，自然就更谈不上我们人类了。

所以，尽管我们不能肯定所有的宇宙必须是三维的，但是我们这个宇宙必须是三维的，否则我们就不会存在，自己就谈不上在这里讨论咱们这个宇宙为啥是三维了。这个就是比较有名的“人择原理”。

用 Bertrand 定理解释我们这个宇宙为啥是三维的，很有说服力，是不是？我觉得是的。

紫荆棘鸟

可以参见百度上给出的解释：
https://baike.baidu.com/item/%E8 ... le=lemma_search-box

看不懂的同学没有必要去细究，但这个定理的结论是很好理解的。那就是，对所有被束缚的质点，只有两种情形的运动可以形成闭合的轨道：
a）例如遵循万有引力定律的运动
b）遵循虎克定律的弹簧的运动

比方说，大家知道太阳约束地球公转的作用力是牛顿万有引力，在太阳静止的前提下，地球绕太阳公转的轨道是圆或者椭圆，它是闭合的。假设万有引力不是和距离的平方成反比而是和距离的立方成反比，那么地球的公转轨道就会是杂乱的而不会是闭合的，因此地球上基本上不会有生命，因为生命的形成太苛刻了。

约束我们这个宇宙的天体运动的是牛顿万有引力，尽管万有引力在四种基本作用力中是最弱的（万有引力，电荷之间的库仑力，基本粒子之间的强相互作用，弱相互作用），但强相互作用，弱相互作用是短程力，在大尺度上迅速衰减；电荷之间的库仑力虽然比万有引力强太多，但天体的电荷是中性的）。

童小洛

认真看过紫鸟的科普文章，写的很好。。。赞一个~！

童小洛

(而三维空间万有引力的强度和半径的平方成反比)，Bertrand 定理告诉你，这样的天体运动 (例如地球绕太阳转动) 不能形成闭合的轨道，不能形成闭合轨道的直接后果就是地球上没有生命赖以形成的稳定环境，于是生命不会出现，自然就更谈不上我们人类了。固定且闭合的轨道运行，在太阳系来看，那必须是三维空间。。。认同~！

童小洛

有些日子，未见紫鸟友友。。。问好友友~~！

紫荆棘鸟

大家一定要弄明白定理和定律之间的区别，特别对于文采斐然但数学/物理差不多忘光的同学，更是如此。
注意伯特兰定理是“定理“，不是”定律“。
定理是数学和演绎逻辑的结论，其结论是可靠的，比如说勾股定理；
定律是归纳逻辑的产物，其结论是不能通过演绎逻辑去证明的，因此其结论可能是不对的，例如牛顿万有引力定律，这种结论是没有被证明的。定律只能被证伪，例如如果小洛和小调合作，提出了一个结论，万有引力是和距离的三次方成反比，那么这个结论就会很快被网索等一干和小洛小调过不去的才子们证伪它不对。这时机敏的牛顿老爷子就很可能站在小调和小洛的肩膀上，从她们的失利出发，提出作用力和距离的平方成反比这个结论。随后许多人围攻牛顿的结论试图挑刺但均以失败告终，于是牛顿的结论就会被大家接受。通常，越是简洁、优美、对称、带有艺术美感的“定律”，越是容易被人接受，因为简洁优美通常意味着出错的可能性更小。自然科学的发展史其实就是这样的，它虽然看上去越来越复杂，但其实其基本原理是越来越简洁优美的。现在物理学两个最重要的原理，最小作用量原理 和 协变原理，它们看上去是那么的简洁优美和“理所当然”。

所以咱们地球和别的星系某个文明如果要交流的话，“定理”是能被双方都容易接受的，因为支撑数学的是逻辑，而逻辑看起来是更根本的东西，可以看成是先验而存在的，例如咱们地球和外星文明的数学，可能很不一样（数学俱备很大的唯心色彩），但只要他们也研究三角形而且定义是一致的，那么大家都会承认勾股定理。

你如果和外星人文明讨论比较复杂一些的数学，例如李群和李代数，他们可能会发懵，因为他们可能压根就不研究这个，而且他们即使研究这个，其表述也可能完全不一样。

和他们讨论万有引力定律更是如此，尽管约束他们那里的天体运动也遵循万有引力定律，但他们很可能就没有发现这么个规律，而且即使他们发现了，他们的表述也可能完全不一样，比如说我们的物理，力是个重要的物理概念，但这并不是说，“力”这个概念就是必须的，他们可能完全就用不到作用力这么个概念，我们的力这么一个概念，他们可能就是轻飘飘的一个位势或者哈密顿量对空间的微分导数。

紫荆棘鸟

童小洛 发表于 2024-7-11 01:08
有些日子，未见紫鸟友友。。。问好友友~~！

小洛是个爱动脑筋的好同学，赞！

紫荆棘鸟

童小洛 发表于 2024-7-11 01:08
有些日子，未见紫鸟友友。。。问好友友~~！

有时有点忙，有时跑到外面去溜达了（现在可是暑假，孩纸们没课了）

紫荆棘鸟

数学上有两个相关的分支：概率论 & 统计学
概率论是纯数学，和代数等类似，这点毋庸置疑；
但统计，从“功效”上而言，它和概率论是“相反”的，统计某种程度是相当于自然科学（尽管它不是），因为概率是从给定的值（例如期望值，方差等）进行纯粹的计算，但统计恰好相反，它的主要目的是从一组观测值来推断其真实的“物理值”，例如测定某个人的智商，其测试结果是
（ 99，102，105，102，110，109，104，100）
其目的是从这些值中推断/估测出这个人的真实智商是多少。
所以你如何估测？这就涉及到不同的方法，比如基于最小二乘的线性回归，比如最大似然等，不同的方法会得出不同的值，
所以统记从这个角度而言，它不属于数学，而像自然科学，尽管它没法回答 why，只能从给出的方法论+计算回答 how。

这些涉及不同方法，就对应一种“思想”或者说哲学流派，例如著名的贝叶斯流派，频率学派等等。

学过统计/概率的都知道贝叶斯定理，对吧？历史上，贝叶斯和费马一样，是“民科”，估计是历史上最大牌的民科，而且他们能将绝大部分“官科”甩 N 条街。
贝叶斯定理在模式识别/人工智能上可起到了核心的作用。

曼语殊豪

像是教授专家的学术报告，咱小学生有太多太多不懂